일반위상수학
책 소개
이 책은 기본적으로 집합론을 중심으로 하는 일반위상수학의 내용을 다루었는데, 수학을 전공하는 학생 중 위상수학을 필요로 하는 학부생 또는 위상수학을 전공으로 공부하려는 학부나 대학원생을 위하여 만들어졌다. 이 목적에 맞추어 크게 두 부분으로 나누어지는데, 9장까지는 학부생들이 공부할 수 있는 분야이고, 10장부터는 대학원생들이 공부하기 적합하게 만들었다. 학부생들을 위한 전반부는 비교적 가볍게 출발할 수 있는 내용 중심으로 기술하였지만 뒷부분은 심도를 높여 연속함수의 확장부분과 같이 대학원 수준에서 공부해야 하는 부분도 있다. 원할 경우에는 대학원 과정에서 프로세미나 수준의 내용으로 강의를 하여도 충분할 것이다.
학생들의 이해를 돕기 위하여 각 개념들에 관한 가능한 한 많은 그림을 삽입하였고, 새로운 개념이 나타나면 그 내용의 이해를 다지기 위해 많은 보기를 나열하였다. 또한 각 장의 끝에는 연습문제를 두어 본문에서의 내용을 연장하여 공부할 수 있도록 하였다.
이 책으로 위상수학을 공부하는 학생들에게 바라는 것은 먼저 개념을 잘 이해한 후 개념에 관해서 상상을 해보라는 것이다. 그리고 중요한 것은 그 개념에 해당하는 그림이나 보기들을 반드시 숙지하라는 것이다. 그러면 그 개념 자체가 추상적으로 남아 있지 않고 실제적인 이론으로서 정립된다. 그 다음 단계로는 정의에 해당하는 정리와 그에 따른 증명을 자세히 들여다보면서 내용을 이해하기 바란다. 그 후에 그 정리가 어떤 의미를 내포하고 있는가를 생각해보아야 한다. 오로지 정리만을 위한 정리는 없고 모든 정리에는 나름대로 위상수학 전체에서 차지하는 의미가 있기 때문이다. 그리고 그 의미를 알면 훨씬 더 흥미를 느끼게 될 것이다.
마지막으로 중요한 것은 직접 문제를 풀어보는 것이다. 각 장에 나와 있는 연습문제는 그 장을 잘 이해하고 나면 혼자 풀 수 있는 것이 많다. 연습문제를 푸는 것은 마치 군인이 실전에 참가하여 얻는 경험과도 같은 것이다. 한 걸음 더 나아가 학생들 스스로가 문제를 만들거나 이론을 생각해보면 대단한 학습효과를 얻을 수 있을 것이다.
예나 지금이나 많은 사람들이 위상수학은 현실과 동떨어진 추상적인 학문이라고 생각하고 있다. 그러나 오늘날의 위상수학은 수학의 많은 분야에서 중요한 역할을 하고 있다. 심지어 조각이나 회화 등 예술분야에서조차 위상수학에 대해 많은 관심을 가지고 연구하고 있다.
학생들의 이해를 돕기 위하여 각 개념들에 관한 가능한 한 많은 그림을 삽입하였고, 새로운 개념이 나타나면 그 내용의 이해를 다지기 위해 많은 보기를 나열하였다. 또한 각 장의 끝에는 연습문제를 두어 본문에서의 내용을 연장하여 공부할 수 있도록 하였다.
이 책으로 위상수학을 공부하는 학생들에게 바라는 것은 먼저 개념을 잘 이해한 후 개념에 관해서 상상을 해보라는 것이다. 그리고 중요한 것은 그 개념에 해당하는 그림이나 보기들을 반드시 숙지하라는 것이다. 그러면 그 개념 자체가 추상적으로 남아 있지 않고 실제적인 이론으로서 정립된다. 그 다음 단계로는 정의에 해당하는 정리와 그에 따른 증명을 자세히 들여다보면서 내용을 이해하기 바란다. 그 후에 그 정리가 어떤 의미를 내포하고 있는가를 생각해보아야 한다. 오로지 정리만을 위한 정리는 없고 모든 정리에는 나름대로 위상수학 전체에서 차지하는 의미가 있기 때문이다. 그리고 그 의미를 알면 훨씬 더 흥미를 느끼게 될 것이다.
마지막으로 중요한 것은 직접 문제를 풀어보는 것이다. 각 장에 나와 있는 연습문제는 그 장을 잘 이해하고 나면 혼자 풀 수 있는 것이 많다. 연습문제를 푸는 것은 마치 군인이 실전에 참가하여 얻는 경험과도 같은 것이다. 한 걸음 더 나아가 학생들 스스로가 문제를 만들거나 이론을 생각해보면 대단한 학습효과를 얻을 수 있을 것이다.
예나 지금이나 많은 사람들이 위상수학은 현실과 동떨어진 추상적인 학문이라고 생각하고 있다. 그러나 오늘날의 위상수학은 수학의 많은 분야에서 중요한 역할을 하고 있다. 심지어 조각이나 회화 등 예술분야에서조차 위상수학에 대해 많은 관심을 가지고 연구하고 있다.
목차
1. 거리공간
2. 연속함수
3. 수렴하는 수열
4. 거리공간들의 분리성과 위상적으로 같은 거리공간들
-연습문제
제2장 위상공간과 연속함수
1. 위상의 정의와 기본적인 보기들
2. 위상공간에서의 점과 집합
3. 부분공간
4. 연속함수
- 연습문제
제3장 곱공간
1. 위상의 바탕구조
2. 위상들의 비교
3. 위상의 윗경계
4. 함수의 집합이 만드는 위상
5. 곱위상
-연습문제
제4장 몫공간
1. 함수가 확인하는 위상
2. 몫공간
- 연습문제
제5장 연결된 공간
1. 연결된 공간
2. 국소적 연결성
- 연습문제
제6장 수렴과 필터
1. 수열
2. 필터
3. 필터의 쌓인 점
4. 극대필터
- 연습문제
제7장 분리된 공간
1. 위상공간들의 분리 성질 109
2. 분리성질들의 곱공간, 부분공간, 몫공간으로의 전이성 116
3. 하우스도르프 공간과 제대로 된 공간으로의 연속함수의 확장 121
- 연습문제
제8장 정규공간
1. 우리존의 도움정리
2. 연속함수의 확장
3. 국소적 유한 시스템과 단위분할
- 연습문제
제9장 컴팩트 공간
1. 컴팩트 공간
2. 국소컴팩트 공간
3. 또 다른 컴팩트 개념들
- 연습문제
제10장 스톤-바이어슈트라스 정리
1. 스톤-바이어슈트라스 정리
-연습문제
제11장 파라컴팩트 공간과 위상공간의 거리공간화
1. 파라컴팩트 공간
2. 거리공간화 정리들
- 연습문제 184
제12장 고른공간
1. 고른공간
2. 고른연속함수
3. 고른공간 만들기
4. 고른공간화
- 연습문제
제13장 완전히 갖춘 공간화
1. 고른공간의 완전히 갖춘 공간화
2. 완벽한 공간의 컴팩트화
- 연습문제
제14장 완전히 갖춘 공간, 폴란드 공간, 베어 공간
1. 완전히 갖춘 공간
2. 완전히 갖춘 거리공간
3. 폴란드 공간
4. 베어 공간
5. 베어의 정리 응용
- 연습문제
제15장 함수공간
1. S-수렴의 고른구조
2. 컴팩트 열린위상
3. 등차연속성과 아젤라-아스콜리의 정리
제 15 장 연습문제
제16장 실수 연속함수들의 환
1. Z-집합과 Z-필터
2. 고정된 극대 아이디얼과 컴팩트 공간들
3. 스톤-첵 컴팩트화
- 연습문제
제17장 일반위상수학의 역사적 발전 과정
1. 위상공간의 체계적 구조
2. 수렴
3. 거리공간화
4. 고른 공간 281
5. 완전히 갖춘 거리공간 282
∎ 논리적 기호들과 기본적인 집합론
논리적 기호
집합 기호
집합의 연산
함수
관계
순서들
곱집합
알아둘 정리
선택공리 (Choice of Axiom)
농도수 (Cardinal Numbers)
참고 문헌
찾아보기
2. 연속함수
3. 수렴하는 수열
4. 거리공간들의 분리성과 위상적으로 같은 거리공간들
-연습문제
제2장 위상공간과 연속함수
1. 위상의 정의와 기본적인 보기들
2. 위상공간에서의 점과 집합
3. 부분공간
4. 연속함수
- 연습문제
제3장 곱공간
1. 위상의 바탕구조
2. 위상들의 비교
3. 위상의 윗경계
4. 함수의 집합이 만드는 위상
5. 곱위상
-연습문제
제4장 몫공간
1. 함수가 확인하는 위상
2. 몫공간
- 연습문제
제5장 연결된 공간
1. 연결된 공간
2. 국소적 연결성
- 연습문제
제6장 수렴과 필터
1. 수열
2. 필터
3. 필터의 쌓인 점
4. 극대필터
- 연습문제
제7장 분리된 공간
1. 위상공간들의 분리 성질 109
2. 분리성질들의 곱공간, 부분공간, 몫공간으로의 전이성 116
3. 하우스도르프 공간과 제대로 된 공간으로의 연속함수의 확장 121
- 연습문제
제8장 정규공간
1. 우리존의 도움정리
2. 연속함수의 확장
3. 국소적 유한 시스템과 단위분할
- 연습문제
제9장 컴팩트 공간
1. 컴팩트 공간
2. 국소컴팩트 공간
3. 또 다른 컴팩트 개념들
- 연습문제
제10장 스톤-바이어슈트라스 정리
1. 스톤-바이어슈트라스 정리
-연습문제
제11장 파라컴팩트 공간과 위상공간의 거리공간화
1. 파라컴팩트 공간
2. 거리공간화 정리들
- 연습문제 184
제12장 고른공간
1. 고른공간
2. 고른연속함수
3. 고른공간 만들기
4. 고른공간화
- 연습문제
제13장 완전히 갖춘 공간화
1. 고른공간의 완전히 갖춘 공간화
2. 완벽한 공간의 컴팩트화
- 연습문제
제14장 완전히 갖춘 공간, 폴란드 공간, 베어 공간
1. 완전히 갖춘 공간
2. 완전히 갖춘 거리공간
3. 폴란드 공간
4. 베어 공간
5. 베어의 정리 응용
- 연습문제
제15장 함수공간
1. S-수렴의 고른구조
2. 컴팩트 열린위상
3. 등차연속성과 아젤라-아스콜리의 정리
제 15 장 연습문제
제16장 실수 연속함수들의 환
1. Z-집합과 Z-필터
2. 고정된 극대 아이디얼과 컴팩트 공간들
3. 스톤-첵 컴팩트화
- 연습문제
제17장 일반위상수학의 역사적 발전 과정
1. 위상공간의 체계적 구조
2. 수렴
3. 거리공간화
4. 고른 공간 281
5. 완전히 갖춘 거리공간 282
∎ 논리적 기호들과 기본적인 집합론
논리적 기호
집합 기호
집합의 연산
함수
관계
순서들
곱집합
알아둘 정리
선택공리 (Choice of Axiom)
농도수 (Cardinal Numbers)
참고 문헌
찾아보기
저자 소개
김승욱
독일 Kiel 대학교 수학학사 (Vordiplom)
독일 Kiel 대학교 대학원 수학석사 (Diplom-Mathematiker)
독일 Kiel 대학교 대학원 이학박사 (Dr. rer.nat)
현재 한국외국어대학교 수학과 교수
한국외국어대학교 자연대 학장
저서 거리공간론(청문각) / 짧게 그러나 완벽하게(교우사) 외 다수